확률통계(1) - 확률

1. 사건과 확률

① 시행(trial)

- 몇 번이고 반복할 수 있고 결과가 우연에 좌우되는 실험이나 관측

ex) 주사위 던지기, 동전 던지기

 

② 표본공간(sample space)

- 어떤 시행을 했을 때 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 집합

ex1) 주사위를 던지는 시행의 표본공간: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ex2) 동전을 던지는 시행의 표본공간: {앞, 뒤}

 

③ 사건(event)

- 표본공간의 부분집합(표본공간의 일부분)

ex1) 짝수 눈이 나오는 경우: {2, 4, 6}은 주사위를 던지는 시행의 사건 중 하나

ex2) 앞이 나오는 경우: {앞}은 동전을 던지는 시행의 사건 중 하나

 

④ 근원사건(atom)

- 표본공간의 단 하나의 성분으로 만들어지는 부분집합

ex1) 주사위를 던지는 시행의 근원사건: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

ex2) 동전을 던지는 시행의 근원사건: {앞}, {뒤}

2. 확률의 뜻

① 어떤 일이 발생할 것으로 기대되는 정도를 나타내는 수치

P(E), probability of E = m/n = 사건 E에 포함된 성분 개수/표본공간 U= \(\{e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}\}\)에 포함된 성분개수 

* 단, 표본공간 U에서 각 근원사건 \(\{e_{1}\}\), \(\{e_{2}\}\), ..., \(\{e_{n}\}\) 중 각 사건이 일어날 가능성은 모두 동등하다.

 

② 어떤 시행에 A, B라는 두 사건이 있다고 할 때

- A, B의 곱사건(product event) → A와 B가 동시에 발생하는 사건,  \(A\cap B\)

- A, B의 합사건(sum event) → A 또는 B가 발생하는 사건,  \(A\cup B\)

 

③ 합사건의 확률

$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$

 

④ 확률의 덧셈정리(addition theorem)

- 사건 A, B가 서로 배반사건(exclusive event) 일 때 다음이 성립

$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B) $$

 

⑤ 여사건의 확률(complementary event)

- 사건 A가 있을 때 A가 일어나지 않는 사건

$$ P(\bar{A})=1 - P(A) $$

3. 독립시행의 확률

- 예를 들어 나는 동전을 던지고 친구는 주사위를 던진다고 하자. 이 때 내가 동전을 던지는 시행과 친구가 주사위를 던지는 시행의 결과를 서로 영향을 미치지 않는다.

- 이렇게 몇개의 시행이 있고 어떤 시행의 결과도 다른 시행의 결과에 영향을 미치지 않을때(관계가 없을 때) 각 시행을 독립시행(independent trial)이라고 부른다. (* 반대는 종속시행(dependent trial))

 

① 독립인 두 시행 \(T_{1}\), \(T_{2}\)에 대해 시행 \(T_{1}\)에서는 사건 A가 발생하고 시행 \(T_{2}\)에서는 사건 B가 발생하는 사건을 C라고 할 때 사건 C가 발생할 확률은

$$ P(C) = P(A) \cdot P(B) $$

② 독립시행 3개 \(T_{1}\), \(T_{2}\), \(T_{3}\),가 있을 때 \(T_{1}\),에서는 사건 A가 일어나고 \(T_{2}\)에서는 사건 B가 일어나고 \(T_{3}\)에서는 사건 C가 일어난다라는 사건을 사건 D라고 하면

$$ P(D) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) $$

4. 배반사건 독립사건 차이

< 배반사건과 독립사건의 차이 (개념원리 강의 [2]) >

< 독립과 배반 관련 명제 [3] >

5. 조건부 확률

사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 확률은 \(P_{A}(B)\)로 표기하고 일반적으로 이를 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 조건부 확률(conditional probability)이라 부른다.

$$ P_{A}(B)=P(A \mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $$

 

① 확률의 곱셈정리(multiplication rule)

두 사건 A, B가 함께 일어날 확률은 다음과 같다.

$$ P(A\cap B) = P(A) \cdot P_{A}(B) $$

 

만약 사건 A와 B가 서로 독립이면

$$ P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

 

② 베이즈 정리(원인의 확률)

$$ P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B) + P(\bar{A}\cap B)} $$

→ A가 '원인'이고 B가 '결과'라고 하면

= B가 일어났을 때 A가 일어날 확률, \(P_{B}(A)\)

= 어떤 결과 (B)가 일어났을 때 어떤 원인(A)이 일어날 확률

 

예) 공장1에서 만들어진 제품을 뽑을 때(A) 제품이 불량일 확률(B) = \(P_{A}(B)\)

      뽑은 제품이 불량품이었을 때(B) 그 제품이 공장 1에서 만들어진 제품일(A) 확률 = \(P_{B}(A)\)

 

References:

[1] 다시 확률 통계 (확률), 나가노 히로유키, 길벗

[2] https://www.youtube.com/watch?v=7eGaNMamdQs

[3] https://www.youtube.com/watch?v=qZyb_40-Q5U&t=565s