적분(integral) 정리

1. 미분과 적분은 서로 역연산 관계이다.

- 어떤 함수 f(x)에 미분을 수행하면 도함수 f'(x)를 구할 수 있다.

- f'(x)를 적분하면 f(x)로 되돌아간다. (미분과 적분의 역연산관계)

2. 부정적분 공식

- 미분의 역과정을 부정적분이라 한다.

$$ \int x^{n}dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C $$

* C는 적분 상수이며 0이든 1이든 상수라면 어떤 수이든 상관없음

 

- 부정적분의 선형성(k, l은 상수)

$$ \int{\{k\cdot f(x) + l\cdot g(x)\}dx}=k\cdot\int{f(x)dx}+l\cdot\int{g(x)dx} $$

3. 원시함수의 정의

함수 f(x)에 대해 F'(x)=f(x)를 만족하는 함수를  f(x)의 원시함수라 한다.

4. 정적분의 정의

- 곡선에 포함된 면적의 넓이를 구하는 과정

- f(x)의 원시함수 F(X)에 대해 F(b) - F(a)의 계산을 'f(x)를 피적분함수로(피적분함수=적분되는 함수(원래함수)) 하는 x=a부터 x=b까지의 정적분'이라 부르고 아래와 같이 정의한다.

$$ \int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a) $$

 

- 정적분 성질

 $$ \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx $$

 $$ -\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{b}^{a}f(x)dx $$

 

- 정적분 예: \(x^{2}\)을 x=1부터 x=2까지 정적분

$$ \int_{1}^{2}x^{2}dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_1^2 $$

$$ =\frac{1}{3}2^{3}-\frac{1}{3}1^{3} $$

$$ =\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} $$

References:

[1] 다시 미분 적분, 나가노 히로유키, 길벗